KETENTUAN
Untuk x <<< ( x ®
0 ) maka sin x »
x
(x <<< kecil sekali ; »
setara
)
l i m sin x = 1
l i m tg x = 1
x ® 0 x x
® 0 x
l
i m x
= 1
l i m x
= 1
x ® 0 sin x x
® 0 tg x
PERLUASAN
l
i m sin ax = a/b
l i m tg ax = a/b
x ® 0 bx x
® 0 bx
l i m ax
= a/b l i m
ax = a/b
x ® 0 sin bx x
® 0 tg bx
l i m sin ax
= a/b l i m tg
ax = a/b
x ® 0 sin bx x
® 0 tg bx
l
i m sin ax = a/b
l i m tg ax = a/b
x ® 0 tg bx x
® 0 sin bx
Rumus-rumus
trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:
cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x
HAL-HAL KHUSUS
l
i m axm + bxm-1
+ .... =
x ® ¥
pxn + qxn-1 + ...
|
¥
untuk m > n ;
a/p
untuk m =n ;
0
untuk m < n
|
l i m Öax2
+ bx + c - Ödx2
+ ex + f
x ® ¥
|
¥
untuk a > d ;
b-e
untuk m =n ;
2Öa
-¥
untuk a < d
|
Bila
salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan
cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.
DALIL L'HOSPITAL
Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x=
a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥
maka
l
i m f(x) = l i m f(x)
x ® ¥
g(x) x ®
a
g(x)
CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. l i m x2 - 5x + 6 =
(3)2 - 5(3) + 6 = 0
x ® 3
2. l i m 3x - 2 = ¥ (*)
Uraikan
x ® ¥
2x + 1 ¥
x(3
- 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2
- 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2
atau
langsung gunakan hal khusus
3. l i m x2 - x - 1 = ¥ (*)
Uraikan
x ® ¥
10x + 9 ¥
x(x
- 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥
- 1 - 0 = ¥
=¥
x(10
- 9/x) 10 + 9/x 10
+ 0 10
atau
langsung gunakan hal khusus
4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*)
Uraikan
x ®
2 x2 - 5x + 6 0
(x
- 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x
- 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3
atau
langsung gunakan hal khusus ® Differensial
5. l i m x3 - 3x2
+ 3x - 1 = 0 (*)
Uraikan
x ®
1 x2 - 5x + 6 0
(x
- 1)3 = (x - 1)2
= (1 - 1)2 = 0
(x
- 1) (x - 5) (x + 5) (1
+ 5) 6
atau
langsung gunakan hal khusus ® Differensial
6. l i m Ö2
+ x - Ö2x = 0 (*)
Hilangkan tanda akar dengan
x ®
2 x - 2 0 mengalikan
bentuk sekawan
(x
- 1)3 = (x - 1)2
= (1 - 1)2 = 0 = 0
(x
- 1) (x - 5) (x + 5) (1
+ 5) 6
atau
langsung gunakan hal khusus ® Differensial
7. l i m (3x - Ö9x2
+ 4x) = ¥
- ¥ (*) Hilangkan
tanda akar
x ®
¥
l i m (3x
- Ö9x2 + 4x ) = é 3x
- Ö9x2 + 4x ù = (*)
Hilangkan tanda
x ®
¥ 
ë
3x - Ö9x2
+ 4x û akar
l
i m (9x2 - (9x2 +
4x) = l i m -4x =
x ®
¥ 3x
+ Ö(9x2 + 4x) x
® ¥
3x + 3x Ö[1+(a/9x)]
l i m -4 = -4
= -2
x ®
¥ 3
+ 3Ö(1 + 0) 6 3
atau
langsung gunakan hal khusus
CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1.
l i m sin 2x = 0 (*)
x ® 0 tg
3x 0
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1
. 2 = 2
2x
tg 3x 3 3 3
2.
l i m 1 - cos 2x = 0
x ® 0
sin 2x 0
1
- (1 - 2 sin² 2x) = 2
sin² x = sin x = tg x = 0
2
sin x cos x 2 sin x
cos cos x
3.
l i m 1 - cos x = 0
x ® 0
3x² 0
2
sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x)
= 1 . 1 . 1 = 1
3
. 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6
6
atau
langsung gunakan hal khusus ® Differensial
4.
l i m sin x - sin a = 0
(*)
x ® 0
x - a 0
2
cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a)
. sin ½(x-a) =
x
- a ½
(x - a )
cos
½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
atau
langsung gunakan hal khusus ® Differensial
