Masalah
Program
linier adalah mengenai optimalisasi dengan keterbatasan tertentu.
Keterbatasan dan optimalisasi ini
harus
dibentuk dahulu model matematikanya ;
yang secara garis besar dibagi 2 bagian :
- constraint ( Persyaratan )
- objective Function
(Fungsi Tujuan / Sasaran)
Langkah
- Tentukan variabelnya (x=... ; y = ....)
- Buat model matematikanya dari : 1) Fungsi tujuan dan 2) Persyaratan
- Tentukan daerah yang memenuhi persyaratannya
- Tentukan titik esktrim daerah tersebut
- Substitusi koordinat titik ekstrim ke fungsi tujuan
- Bandingkan nilai yang didapat
- Jawaban disesuaikan dengan pertanyaan (maksimum/minimum)
contoh
:
MASALAH MAKSIMUM
1. Seorang pedagang akan membuat kue A dan B. Kue A membutuhkan
150 gr tepung dan 50 gr mentega. Kue B membutuhkan
75 gr tepung dan 75 gr mentega. Tepung yang
tersedia ada 2250 gr dan mentega yang tersedia
ada 1750 gr. Jika kue A memberi keuntungan Rp 100,00 dan
kue B Rp 125,00 tiap unitnya. Berapa keuntungan maksimum yang mungkin
diperoleh pedagang itu ?
Tabel
|
Kue
A |
Kue
B |
Tersedia |
Tepung
Mentega |
150
50 |
75
75 |
2250
1750 |
| KEUNTUNGAN |
100 |
125 |
|
Misalkan
banyaknya kue A yang dibuat x buah dan kue B yang dibuat y
buah, maka persoalan menjadi :
Maksimumkan :
f(x,y) = 100x + 125y (fungsi objektif/keuntungan)
dengan syarat (ds):
150x + 75y £
2250 ® 2x + y £
30 ...(1)
50 x + 75y £
1750 ® 2x + 3y £
70 ...(2)
x,y ³ 0
catatan : bentuk persyaratan £
Titik
Ekstrim
A(0,23 1/3) ; B(15,0) ; (5,20)
f(x,y) = 100x + 125y
f(A) = 100(0) + 125(23) = 2875
(dalam hal ini roti tidak pecahan)
f(B) = 100(15) + 125(0) = 1500
f(C) = 100(5) + 125(20) = 3000
Jadi keuntungan maksimum pedagang itu adalah Rp 3.000,00 ; yaitu
dengan membuat 5 unit kue A dan 20 unit kue B.
2.
Seorang penjahit pakaian mernpunyai persediaan barang katun 16 m,
sutera 11 m dan wool 15 m.
Model pakaian I membutuhkan 2 m katun, 1
m sutera dan 1 m wool per unit. Model pakaian
II membutuhkan 1 m
katun, 2 m sutera dan 3 m wool per unit.Keuntungan
pakaian model I Rp 3.000,00 dan model pakaian
II
Rp 5.000,00 per unit.
Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian
harus dibuat agar didapat keuntungan yang
sebesar-besarnya ?
Tabel
|
Model
I |
Model
II |
Tersedia |
Katun
Sutera
Wool |
2
1
1 |
1
2
3 |
16
11
15 |
| KEUNTUNGAN |
3000 |
5000 |
|
Misalkan
: Banyaknya model I yang dibuat = x
model II yang dibuat = y
Maksimumkan
f
(x,y) = 3000x + 5000y
ds : 2x + y £ 16 (1)
x + 2y £
11 (2)
x + 3y £
15 (3)
x;y ³
0
Titik Ekstrim
A(8,0) ®
TP antara garis (1) dengan sb-x
B(7,2) ®
TP antara garis (1) dengan (2)
C(3,4)
® TP antara garis
(2) dengan (3)
D(0,5) ®
TP antara garis (3) dengan sb-y
f (x,y) = 3000x + 5000y
f(A) = f(8,0) = 3000(8) + 5000(0) = 24.000
f (B) = f(7,2) = 3000(7) + 5000(2) = 31.000
f(C) = f(3,4) = 3000(3) + 5000(4) = 29.000
f(D) = f(0,5) = 3000(0) + 5000(5) = 25.000
Jadi keuntungan maksimum adalah Rp 31.000;
yaitu dengan membuat 7 buah model pakaian I dan 2 buah
model pakaian II.
MASALAH
MINIMUM
3)Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit
protein , 24 unit karbohidrat dan 18 unit lemak
Makanan A mengandung protein, karbohidrat dan
lemak berturut-turut 4, 12 dan 2 unit setiap
kg.
Makanan B mengandung protein, karbohidrat dan lemak
berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kg masing- masing
makanan harus dibeli setiap minggunya, agar kebutuhan
terpenuhi, tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1 kg
makanan A harganya Rp 1.700,00 dan 1 kg makanan B harganya Rp 800,00
?
Tabel
|
A
|
B |
Kebutuhan |
Protein
Karbohidrat
Lemak |
4
12
2 |
2
2
6 |
16
24
15 |
| HARGA |
1700 |
800 |
|
Misalkan : Banyaknya makanan A yang dibeli adalah x kg
Banyaknya
makanan B yang dibeli adalah y kg
Minimumkan f (xy) = 1700x + 800y
ds : 4x + 2y ³
16 ® 2x + y ³
8 (1)
12x + 2y ³
24 ®
6x + y ³
12 (2
2x + 6y ³
18
® x +
3y ³
9 (3)
(Catatan : Bentuk persyaratan ³
)
Titik Ekstrim
A
(0,12) adalah titik potong antara garis (2) dan sumbu y.
B (1, 6) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (2).
C (3, 2) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (3).
D (9, 0) adalah titik potong antara garis (3) dan sumbu y.
f (x,y) = 1700x + 800y
f(A) = f(0,12) = 1700(0) + 800(12) = 9600
f(B) = f(1, 6) = 1700
(1) + 800(
6 ) = 6500
f(C) = f(3, 2) = 1700(3) + 800( 2 ) = 6700
f(D) = f(9, 0) = 1700(9) + 800( 0 ) = 15300
Jadi biaya minimum adalah Rp 6.500; yaitu dengan membeli 1 kg
makanan A dan 6 kg makanan B.
